佩雷尔曼的生活已经有了很大的变化，他对周围其他的事情没有一般人那么多的期待。仅仅是一般般的观赏。

在他的脑中，只对庞加莱提出的拓扑学问题有了兴趣。

佩雷尔曼生活很简单，一切收入来源除了自己有一丁点的薪水以外，就是自己的母亲养活自己了。

佩雷尔曼知道，当心俄罗斯的生活没有了太多的其他希望，大家过的都不景气，经济也差，机会也少。如果工作找的不合适，那么一生几乎就要穷困潦倒了。

佩雷尔曼自从爱上数学和物理之后，哪里对其他的事情抱有大的兴趣。

此刻是对庞加莱猜想兴趣最大，庞加莱猜想就是：“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”

简单的说，一个闭的三维流形就是一个有边界的三维空间单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间，假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个空间就一定是一个三维球面。

后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。

庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

庞加莱一开始以为自己已经证明出来了，但没多久，发现其中有错误。

英国数学家怀特海也去证明了，也有错误，但是却发现了怀特海流形。这是三维流形的一些有趣的特例。

帕帕奇拉克普罗斯也想证明，发现了“迪恩引理”。对于庞加莱的猜想，他始终没有证明出来。

庞加莱猜想没有证明出，发展出低维拓扑学。作为几何拓扑学的基础学科，它又无法被绕过去。

斯梅尔说：“如果三维的庞加莱猜想难以解决，高维的会不会容易些呢？”